CONGRUENCE 157

This evidently is equivalent to the rule:

e ( 2T ak) o (kss (%od 6)ak—ks2 (§0d e)ak>

k=4 (mod 6) k=1 (mod 6)
4 ( 2o Oy ok Gk)
k=6 (mod 6) k=3 (mod €)

which again is equivalent to the following

05(3 Y mEd  E b ak)

k=4 (mod 6) k=5 (mod 6) k=6 (mod 6)
== (3 2. ar + 4 Z ar + = alc)
k=1 (mod 6) k=2 (mod 6) k=3 (mod 6)

which may be written

a = ay— (3a1 +4as + as) + (3as + 4a;5 + as) — (3a7 + 4as + a,)
+ Baw +4au +ap) — - -

OF;

[(lo |- (3(14 + 4a; + afi) g (3010 + 4an + 012) i ]
— [(Ba1 + 4az + as) + (3a7 + 4as + a9) + -+ -1 ()

a

CASTING OUT THE NINES, ETC.

393. According to § 349, if we want to find to what one
figure number a given number written in the decimal system
with positiv or zero digits is congruent with respect to the
modulus 9, we may, instead of dividing the number by 9,
divide the sum of its digits. The remainder is the number
sought.

(1) This form, when the result is zero or another multiple of 13, is
equivalent to the rule given by Monteux, as quoted by Lapparent, l. c.,
p- 250: ““ Pour trouver si un nombre est divisible par 13, il faut le partager
par tranches de trois chiffres, aprés en avoir retranché le chiffre des unités,
et multiplier alors le ler chiffre de droit par 3, le deuxiéme par 4, le troisiéme
par 1, et ainsi poser chaque tranche. On fait, ensuite, la somme des pro-
duits des tranches paires et celle des produits des tranches impaires, en
regardant le chiffre des unités comme une tranche. Si la différence de ces
deux sommes est zéro ou un multiple de 13, le nombre est divisible par 13.”

et i el

ez oy

|
|
i