%

Глава 1Х

СХЕМА РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ
ГАРДИ — ЛИТТЛВУДА

 

$ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Естественным обобщением уравнения Гарди — Литтлвуда

(7,1,1) является уравнение

п== Ф (х, у) Р, (9,1,1)
`где ф(х, у) — бинарная квадратичная форма, а р — простое ,
число. Применение дисперсионного метода к этому уравнению
позволяет установить при естественных необходимых условиях
существование решений (9,1,1) и указать для количества их
достаточно хорощшую оденку снизу, но непосредственно не
приводит к асимптотической формуле для числа решений, хотя,
по-видимому, углубление и уточнение соответствующих рас-
суждений может привести к такой формуле.

Мы будем здесь рассматривать лишь случай, когда $ (х, у)—
положительная примитивная квадратичная форма Ф (х, у)==
= ах? + бху + су? с дискриминантом — @ == 6° — 4ас < 0, сво-
бодным от нечетных квадратов. Будем считать сё приведенной.

Род, к которому принадлежит форма ф (х, у), как известно,
определяется значениями символов:

(%); р|@; р нечетно; (——1)№)‚ (9,1,2)

см. [1]. Это — родовые условия ® (х, У).

Пусть число з удовлетворяет родовым условиям:

(2)—(#): #!6: р нечетно; (—1/=(—1)”. ©)
и условию:

(т, @&) =1. (Э

ПУС'ГЬ Фо (х› )’)=ЁР (х› .У): Ф (Х‚ у)› «` &ы аОЙ (х› 1’) — Ппривез
денные представители рода, к которому принадлежит. форма
Ф (х, у). Тогда количество представлений числа т какими-либо
формами Ф; (х, у) этого рода, согласно лемме 2.14.2, будет

У (п) = @ \ ( Г.-‹;—‘і) . (9,1,5)

6| т

13* 195