Глава У
ПРОБЛЕМА ДЕЛИТЕЛЕЙ И ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ТИТЧМАРША

 

$ 1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Проблема делителей и простых чисел была поставлена
Е. С. Титчмаршем в 1930 г. [55]. Она заключалась в отыскании
асимптотики выражения

У т(р — 1 (8,1,1)

при л -> со и заданном /. Естественным вариантом ее является
проблема асимптотики выражения :
, `
У =(п—р). ‚ (8,1,2)
р<п—1
В работе [55] Е. С. Титчмарш устанавливает условную теоре-

му: если верна расширенная гипотеза Римана, то (8,1,1) имеет
асимптотику:

 

У «(р — 1) = Е (1) п + Вл ВЙ (8.1,3)

НЕп
р<п

где Ё(!) зависит только от /. Далее, с помощью метода ре-
шета Вигго Бруна, он устанавливает, что (8,1,3) имеет вид
Е (1)О(п). Е. С. Титчмарш выводит ощенки снизу для (8,1,1),
но здесь его рассуждения содержат некоторые неточности.

Далее, указанной проблемой (для случая /==1) занимался
П. Эрдеш (работа [34]; родственные данному вопросы трак-
туются в его работе [35]). В работе [41] С. Б. Хазелгров
рассматривает, в частности, оценку снизу для (8,1,1), получая

‚ результат А (1) ЫЁ' К. Прахар в своей монографии ([48], стр.
164—168) также трактует подобные вопросы.

181