Глава У/И
ПРОБЛЕМА ГАРДИ-ЛИТТЛВУДА

 

$ 1. ОБ УРАВНЕНИИ ГАРДИ-ЛИТТЛВУДА

В известной работе [40] 1923 г. Г. Гарди и Дж. Литтлвуд
рассматривают уравнение
п=р-- & -- (7,1,1)
и на основании чисто эвристических соображений предполагают
для числа его решений © (л) асимптотическую формулу
п —1 — 5
© (п) —к Аот П аЫ, (7,1,2)

о |п

а ! Х4 (Р) 7 Э)
Ао—П(1 Е 7’(Р_:'1_)_) ‚ _ (7,1,3)

р

Г. Гарди и Дж. Литтлвуд указывают в этой же работе: с по-
мощью расширенной гипотезы Римана возможно доказать, что
„почти все“ числа обладают асимптотикой (7,1,2). В настоящее
время такое доказательство нетрудно провести, используя со-
временные теоремы о распределении простых чисел в отрезках
арифметических прогрессий. В 1928 г. Г. Стэнли [54] провела
доказательство для „почти всех“ чисёел, пользуясь расширен-
ной гипотезой Римана. С этой работой Г. Стэнли связаны ра-
боты Човла [32], Эстермана [38] и Гальберстама [39]. В 1957 г.
появилась важная работа С. Хооли [43], где дается условный
вывод асимптотики (7,1,2) на основе расширенной гипотезы
Римана. Помимо этого, работа [43] интересна тём, что в ней
вводится важный тип чисел, которые мы рассматривали в гл. 1)
(см. $ 4 гл. |) и назвали „квазипростой оболочкой“ почти про-
стых чисел.

В работёе автора [15]. с помощью дисперсионного метода
доказана разрешимость уравнения (7,1,1) и дано неравенство
для @ (л), сохраняющее 97,9 % асимптотики (7,1,2). В работе [16|,
опирающейся на [15], доказана асимптотическая формула

где

132