для любых остатков той &,

2: оТОВЕГ НОЙ
р'’ =(той 4) 'в ()
р'в ()

где В;== 1, если (, 9) = 1 и равно 0 иначе.

Отметим, что с помощью дисперсионного метода можно по-
лучить асимптотику решений (5,1,1) при довольно произволь-
ных предположениях вместо Г или П. Предположение Ё отве-
чает поведению натурального ряда, а П — поведению простых
чисел. Более общим явилось бы предположение о различном
поведении ’ = Е(тойд) при (& 4) = 1 и при (& 4) > 1!.

Далее, целесообразно выделить ограниченное число каких-
либо исключительных чисел @)(/= 1, 2, ..., со), относительно
которых можно предположить то или иное особое поведение В.
Однако для упрощения дела мы остановимся лишь на предпо-
ложениях !1 и П. Можно заметить, что и числа у можно заста-
вить пробегать довольно произвольную последовательность,

Полагая (п, а,а,„а) == 1, мы можем с помощью дисперсион-
ного метода получить асимптотику ч.р.у. (5,1,1). Однако в
общем случае необходимы весьма громоздкие выкладки. Они
полностью проведены в гл. УТ для частного случая @ее
е ==1; 0’, у— простые; ограничений на изменение Р’, у в этом
случае не накладывается (такая постановка нужна для гл. уП
об уравнении Гарди—Литтлвуда). В данной главе мы ограни-
чимся построением функции А (л, Э), см. (0,2,4), и указанием
окончательного результата для одного характерного частного
случая уравнения (5,1,1).

$ 2. ОБ ОДНОМ ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ УРАВНЕНИЯ (5,1,1)
Мы будем рассматривать частный случай (5,1,1), когда @ — 2,
а, = 1, а, ==2а; ’ пробегает простые числа. Таким образом,
будем изучать уравнение

® (х, у) - 2а0”»? = п. (5,2,1)

Для упрощения построения А (л, ) и вида окончательной
формулы мы примем еще, что л. не имеет простых делителей <
< ( гЪ)К‘ при достаточно большом К,..

Будем теперь строить А (л, Э) — ожидаемое число решений
уравнения:

Ф (х, у) -- 24у? = п, (5,2,2)
где Э) задано, а у < п'; у пробегает простые числа. В силу
сделанного об п предположении, (лп, 2а) = 1. Если (т, 2а) = 1,
то, как известно (см. лемму 2.14.3), число представлений
системой бинарных форм Ф дискриминанта — @ есть

® 2 (— %) — @ 2 1а ($), (5,2,3)

& | т 6| п

108