Пусть @, и @, — дискриминанты соответствующих полей и
(л, @,а,) =1. Поставленная в таком виде проблема сходна
с аддитивной проблемой делителей, см. (3,1,2).

Применение -дисперсионного метода позволяет найти асимп-
тотику (4,1,4) для случая, когда одно из полей В, и В, —
квадратичное. Будем считать, например, #, квадратичным
полем дискриминанта @,, Ё, — полем любой степени дискрими-
нанта @,; Г, / — заданными классами идеалов в этих полях;
(л, 24,д,)==1. Тогда асимптотика числа решений (4,1,4) при

л -> со может быть найдена при помощи дисперсионного мето-

(1п п 1)?
да с погрешностью Впт. Расчеты весьма сложны для

числа лп общего вида и упрощаются для числа л, не имеющего
малых простых делителей. Для такого случая асимптотика
уравнения (4,1,4) имеет вид

п а л)?
@() == @ (№,, В, л) л- Ва ННЕ
где © (&,, &,, @) — сингулярный ряд проблемы. Для каждой
заданной пары (&,, &,), где #, — квадратичное, а Ё, — любое
алгебраическое поле, можно установить в конечное число
действий, будет ли главный член в формуле (4,1,5) больше
остаточного; в общем же случае, даже необращение ©С (&,, В, )
в О обнаружить затруднительно. Ввиду такой неполноты полу-
чаемого результата, а также большой громоздкости выкладок,
мы не будем приводить соответствующей асимптотической
фФормулы. Поскольку все же сведение основного уравнения
(4,1,4) к виду. удобному для дисперсионного метода, нетри-
виально, мы приведем здесь соответствующие рассуждения.
Мы будем считать, что поле & — мнимое квадратичное, и
записывать основное уравнение в виде.

® (х, у) + М (а) =л, (4,1,5)
где ® (х, у) — положительная примитивная квадратичная форма

дискриминанта — @, а М(а) — пара идеала заданного класса
заданного поля й..

$ 2. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ (4,1,5)

Мы будем приводить уравнение (4,1,5) к -виду, удобному
для дисперсионного метода, действуя, как в $ 3, в отношении
уравнения (3,3,1). Рассмотрим множество норм чисел данного

класса идеалов / (а =1,2,... , й; й — число классов. идеалов
поля &). Имеем при подходящем & ==& (&):
1 ›
У 1 = -; (т), (4,2,1)
№ (а) = т

7 Ю. В. Линник 97