остаточный член имеет в известном смысле неулучшаемый
вИд ВЕП‚“2+5_

Помимо таких обобщений, естественно взглянуть на урав-
нение (4,1,1) с иной точки зрения, и рассмотреть обобщения
в ином направлении. Уравнение (4,1,1) можно представить
в виде

Ф1 (ху У) + Ф› (2› Ё):П‚ (4›1›3)

где $1 (х, у) = ах* - Бу? и Ф»(2, ) == сг* -- @# — положитель-
`‘ные бинарные квадратичные формы. Можно рассматривать
любые бинарные формы $,(х, у) и $›(х, у) детерминантов
соответственно (— аё) и (— с@), что, разумеется, приведет
к обобщениям предыдущего типа.

Пусть числа ав и с@ свободны от квадратов: № (аф) ==
- 0,в (са) & 0. Рассмотрим квадратичные поля Ё (у— ав) и
й (И — са’) и в них — классы идеалов / и /, такие, что Ф, (х, у)
пробегает значения пары целых чисел поля & (И — ав), ле
жащих в Л, а Ф›(2, #) — значения норм целых чисел поля
іг‚(\/——са')‚ лежащих в /,. Тогда уравнение (4,1,3) можно
переписать в виде

 

 

 

М (а) -- № (6) — п (4,1,4)

где а@Л, Б6/, — целые идеалы из соответствующих полей.

Если числа ав и са не свободны от квадратов, то (4.1,4) не равно-
сильно (4,1,3). Мы можем, однако, несколько расширить класс
уравнений (4,1,4) так, чтобы охватить и такие случаи. Для этого
достаточно потребовать, чтобы числа идеалов а и 6, выражаемые
через базисы ,, ®,, ©;, ®, Соответствующих идеалов в виде
Х)0; - Х,®,; х)0) - Х, (ху Х, — целые  рациональные  числа),
подчинялись дополнительным условиям: Х; Х; должны лежать
в предписанных арифметических прогрессиях. Например, для
уравнения @а* (х* - у*) - е* (2* - #) = п мы можем рассматри-
вать числа х у и @+ й в одинаковых полях #, ==, ==
= # (И — 1) под условиями: х == у = 0 (той а); г = Е = 0 (той ).
Можно также рассматривать идеалы не в полях, т. е. не
в максимальных кольцах целых чисел полей, а в „порядках“
(Ог@пипе); тогда можно допускать и формы с детерминантами,
не свободными от квадратов. Но такой подход сложнее.

Уравнение (4,1,4) все же является лишь иной записью
уравнения (4,1,3). Мы можем, однако, рассмотреть уравнение
(4,1,4), когда поля &, и &, не предполагаются квадратичными.

Будем рассматривать уравнение (4,1,4), где а@Л и бЕЛ,;
Д — класс идеалов какого-либо поля алгебраических чисел #,
а Г, — класс идеалов какого-либо другого поля В, (разумеется,
может быть #; == й).