Глава Г\/

ПРИМЕНЕНИЕ ДИСПЕРСИОННОГО МЕТОДА ДЛЯ
ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ КЛОСТЕРМАНА

 

$ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В 1926 г. Г. Клостерман [46], дополнив метод Гарди —
Литтлвуда специальными соображениями из теории тэта-функ-
ций, получил асимптотическую формулу для числа решений
©О (л) бинарной задачи вида

ах* -- Бу? -- сг* -- а# = п. (4,1,1)

Слева здесь стоит определенная квадратичная форма (а, В, с›
@ — положительны). Число лп предполагается взаимно простым
с детерминантом формы &А — авса. Эта формула имела вид

17
@ (п) :7;: п5 (п) + В.п'® : :

где

$(о)= Ъ (%) Р (4,1,2)

ё| л

р
где (Т) —= символ Кронекера.

Результаты Г. Клостермана были обобщены В. А. Тарта-
ковским [24], построившим общую теорию представления
больших чисел  положительными — квадратичными формами
Е(х,..., Х;) с числом переменных $ > 4. Результат Г. Кло-
стермана (4,1,1) получался как частный случай уравнения
О (х, у, г, ) ==п, где ©О(х, у, #, #) — положительная кватер-
нарная квадратичная форма. Далее эти результаты развивались
А. В. Малышевым [18], [19], применившим новейшие оценки
тригонометрических сумм (данных А. Вейлем), и другими
авторами.

В 1954 г. М. Эйхлер [33] развил новый метод в аналити-
ческой теории кватернарных форм, замечательный тем, что
в асимптотической формуле для ч. р. у. @(х, у, г, Э= п

95