Лемма 3.3.1 °

Число решений (3,3,2), у которых Х Е 4, (п), имеет оценку
ГВ

Вл (11'1 ’Ъ)_Т. (313'3)

Для доказательства замечаем, что если х, у, Х — решение
уравнения (3,3,2), то Х — ху — 1, т, (Х) = т; (ху — 1); при этом
можем рассматривать лишь решения, где х < у, так что х <
< У/л--1 (удваивая затем число таких решений).

Далее, согласно лемме 1.1.4, см. (1,1,5), имеем

 

2 2 т (ху — 1) = Вл (п)° ® Э, (3,3,4)

х<Илу1 ХУусл+1

Для таких решений, где Х СА, (л), имеем т; (ху—1) >> (1п л),
так что, в силу (3,3,4),

( ло т;г(худ))(1пл)’“”“:Впппп)"“)‚

РЕ <п а
\х<Ила1 ХУ<л+1

тде штрих обозначает‚ что суммирование ведется по Х —

==ху — 16 4А, (л). Отсюда и следует лемма 3.3.1. Мы можем
теперь считать, что в уравнении (3,3,2) Х Е А, (л).

Теперь произведем дальнейшее разбиение чисел Х ЁА, (п)
на классы 0° и 2®, Класс 02® будет состоять из чисел Х
имеющих простой делитель у под условием

ехр/ мл <У п'° , (3,3,5)

›

2) ;
а класс ® — из остальных чисел Х6СА,(п). Мы покажем
теперь, что решениями, для которых Х 60°), можно прене-
бречь.

Лемма 3.3.2
Число решений (3,3,2), у которых ХЕБ…‚ имеет оценку
Вп. (3,3,6)

2 Г
Для чисел ХЕр все их простые делители у будут либо
Л

< ехр У/Шшл, либо >> п'° Рассмотрим сперва последний слу-
чай. В этом случае число Х имеет не больше шести простых
множителей, так что Х = Р является „почти проётым“ числом,
и < (Х)= В. Число соответствующих решений (3,3,2) будет

поэтому
д (3,3,7)

х<ИКл+1 Х=1(шойл)
Х<л

78

ао Й