Заметим, что (3,1‚8) можно записать в виде
с ® (п) 1 \2
А(1)—2—„2-—Пр(1—(1——17)). (3,1,9)
п=1 р |п

Проблема делителей является бинарной аддитивной задачей.
Именно (3,1,1) отвечает уравнению

Хка .скбы — уа ао Ы, (3,1,10)
где х,, у;— натуральные числа, и
АоМаенноон, ЧЕО (3,1,11)
Аналогично, (3,1,2) отвечает уравнению
х|Ха... Хь Р )У. . Мь, == Й. (3,1,12)

Решение бинарных задач (3,1,10) и (3,1,12) для любых це-
лых значений Ё, и Ё, представляется чрезвычайно затрудни-
тельным. Можно отметить, что, пользуясь методом автора, из-
ложенным в работах [10| и [11], и условно принимая гипотезу
Римана для одной только 6-функции Римана, возможно полу-
чить удовлетворительную асимптотическую формулу для числа
решений неравенства

| ра кк ЫВ ДУзо оМВ ВЕЙ (3,1,13)

где А„ == В п п)° (С > 0). Неравенство (3,1,13) можно считать
некоторым приближением к уравнению (3,1,12). Уравнение
(3,1,12) имеет некоторые интересные приложения. В частности,
оно связано с некоторыми классическими проблемами теории
характеров Дирихле. Укажем вкратце связь его с известной
проблемой И. М. Виноградова об оценке величины наимень-
шего положительного квадратичного невычета (той р).

Пусть заданы числа е >> О и л > 0. Пусть в уравнении (3,1,12)
&, == В, == Ё, и пусть по заданному & > 1, при М>> М, (#), мы
можем указать асимптотическую формулу или хотя бы удов-
летворительную оценку снизу числа решений уравнения (3,1,12)
для всех чисел 2 < М, за возможным исключением ВМ " та-
ких чисел (такие исключения могут зависеть от &). Пусть р —
простое число, такое, что р == — 1 (тод 4); выберем М так, что
№"° = р < 2М"", и рассмотрим уравнение

,
/

ЫЕ СВ
ХХэ .. Хрг УрУ» .. УБ Йр й 5

Хотя бы для одного /;, на основании сказанного, мы будем
иметь удовлетворительную оценку снизу числа решений. С дру-
гой стороны, легко дать оцденку сверху числа таких решений,
у которых хотя бы для одного индекса / х; > р° или у) > р*.

Если лп достаточно велико сравнительно сС е, то число таких
решений должно составлять относительно небольшую долю

75