Особый случай: а = 0, т. е. асимптотика 2 (= (‚т))?, сводит-
т<п
ся к стандартному применению теории ©-функции Римана; он
был рассмотрен еще С. Рамануджаном в 1915 г. [49]. При
этом получается:

2 (к (‚2))? …% п (1п л) `.

Мы видим, что здесь правая часть содержит множитель (1п п)°
вместо (1п и)?. Это показывает резкое отличие особого случая
а== ( от общего случая а `> 0.

В 1930 г. результат А. Ингама был улучшен Т. Эстерма-
ном [36], [37], получившим асимптотические ряды вместо пра-
вых частей (3,1,3) и (3,1,4). Для случая (3,1,4) результат
Т. Эстермана имеет вид

2 2—;
У < (т) < (п — т) =п 2(111 п) 2 @79 () -

т< 7=0 7=0
23

+ Вл"® (1пл)'о_ з (п). (3,1,5)
4

В 1942 г. проблему рассматривал Э. Титчмарш [55] для
случая #, = 2, й, ==3; его результаты носили эвристический
характер; цель строгого обоснования асимптотики не ставилась.
В 1950 г. Р. Беллман [28] опубликовал асимптотические выра-
жения для случаев & — 2; й, == 8 и #, = 3, #, — 2 в формуле
(3,1,1); однако его рассуждения в этой работе ошибочны.

В 1957 г. С. Хооли [42] впервые дал вывод асимптотики
для (3,1,1) и (3,1,2) в случаях &) = 2; й, ==3 и # —=3, #, ==2.
Формулы С. Хооли имеют вид:

ы _
›_д <; (;2) ® (т - а)

т<й

2 т (т) <; (т -- а)

т<п

 

:—‚Ё—А (а) пп° л -- О (п(1п ппп л))?, — (3,1,6)

 

2 <, (п — т) х (т) — % А, (п) пп° л --
\ т<п
-- Вл (1пл1п1пп2№)—. (3,1,7)
\ 7а /
Здесь А (а) и А, (л) — выражения довольно сложной сгруктуры,
подробно указанные в работе [49]. Мы приведем здесь только
выражение 4 (а) в простейшем случае а==1

оо

л в (п) & 9 (@)
.4(1)=272—2- на (3,1,8)

п=1 а1 п

74