7 —1

Еехрётг) ое 221" ехр ла, ; (1,7,3)

фе Т $=0 7е Г

 

где
4—-1

ву= М ехро г (7(х) — 5). (1,7,4)

х=0

 

Эта лемма доказывается перестановкой суммирования по $
и г и прямым подсчетом правои части. Если Т—сегмент
1\91, Фэ], где [41, Ф›] С [0, 4, из (1.7,3) и (1, 7, 4) непо-
средственно следует:

` # = ВТАТ Ф7
‚"/" ехр7, Х(Э |= В | 7 | п4, (1,7,5)
® [@1, 9›]

 

|7|== тах| А1 (1,7,6)

Из оценок тригонометрических сумм нам более всего нуж-
ны будут новейшие оценки Андре Вейля для сумм Клостер-
мана.

Лемма 1.7.3
Пусть 94> 1, хх’ = 1 (тойд) при (х,`4) ==1; а, & — целые
числа. Имеем:
Е ьхр“і(ах -- 6х’) ==
(&, 9)=1 :
= В4!? х (4) пип ((а, 9)”", (, 9)”. (1,7,7)
Доказательство см. в работе А. В. Малышева {19|.
Сочетания (1,7,7,) и (1,7,5) непосредственно — приводят
к лемме:

Лемма 1. 7. 4

В обозначениях леммы 1. 7. 3 при О<9, <@ имеем:

У ехр?е05 — Вд!? + (4) па (, 9) (1,7,8)

х<4,