Доказательство этой леммы довольно громоздко. Детальное
изложение его дано в работе [161. В главе У используются
лишь случаи & < 5.

$ 7. ЛЕММЫ О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММАХ

Для подсчета количества дробных частей некоторых функ-
ций, изменяющихся в определенных сегментах, мы будем
применять метод И. М. Виноградова.

Пусть @ (х) — какая-либо  непрерывная функция целого
аргумента х, изменяющегося в сегменте /. Нас интересует
число О(») дробных частей {и(х)}, попадающих в предписан-
ный сегмент р — [го, В], где 0 <<а <<В < 1. Эго число можно во
многих случаях с большой точностью приблизить верх-

ними и нижними функциями И. М. Виноградова, У (г) и
№ (2), с помощью формулы:

Х т@и(х)) <О( < У Т (и(х)). (1,7.1)

жхеЛ хЕ!

м

Функции \ (2) и \ (г) можно выбирать довольно разнооб-
разными способами. Весьма важный вид этих функций указан
И. М. Виноградовым [7] в виде рядов Фурье с периодом 1.
Выражение Ф (г) и \ (г) в виде рядов Фурье позволяет затем
свести вопрос к тригонометрическим суммам.

Лемма 1.7.1 (И. М. Виноградов)

Пусть г >> 0 — целое; 0 < А < 0,5; А < В — е < 1 — А. Тогда
существует периодическая функция \ (х) с периодом 1 и ус-
ловиями:

1, Ж (х) == 1 при х 6[а -- 0,5А, В — 0,54А],

2. О < \ (х) < 1 при х С [« — 0,5А, а -- 0,5А] и х Е [В — 0,54,
@_:Г ОубА]›

3. Ф (х) —0 на [0,1] вне сегмента [« — 0,5А, В -- 0,54|,

4. \ (х) разлагается в ряд Фурье:

/
У () = йв— « + У апехрЭкйтх

#я
Т ==— о
{штрих означает выпуск значения / == 0). При этом
. ЕА ЙМ (17 9
|ат|< -; а@! < 4(8 — @); |ап! < (та ) - (1ъ7,2)

Доказательство см. в книге И, М. Виноградова {[7], стр.
260—261.

Лемма 1. 7. 2 (И. М. Виноградов)

Пусть / (х) — целозначная функция, 4 >> 1— целое число;
Т — подмножество множества чисел 0,1,..., @ — 1. Тогда имеем

42