Если бы было гк+1 << ©0Гр, ТО ВЫПполнялось бы хотя бы оцно›
из двух неравен‹:тв
@% 42
Н нрх вом . 2А,
вГ‚д ” 217; ° ма > Эт Га (1’_6’8)

Та +1

 

 

и хотя бы для одного из модулей г;, /к+1 было бы верно
(1,6,3), что предположено неверно. Это и доказывает лемму.

Переходим теперь к лемме, которая играет основную роль
в выводе асимптотики в проблеме Гарди — Литтлвуда, данном
в главе М. Эта лёемма касается распределения чисел вида
х)Хэ' 'Хр при Ё <6 в отрезках арифметических прогрессий,
разность которых в некотором смысле близка к квадратному
корню из длины отрезка. Такого рода леммы тесно связаны

с оценками сумм вида: 2 | 4 (5, Х)*, где  суммирование
Х той 4

идет по всем характерам той 4. В работе автора [15] даны
теоремы такого вида для Ё < 4 (что уже дает разрешимость
уравнения Гарди — Литтлвуда л==р-| -- 1?). В работе [16]
выведены „сборные“ законы распределения, которые мы при-
ведем здесь.

Пусть х>>х,; рассмотрим набор каких-либо модулей р

под условием
Р, < р < ), + р,, (1,6,9)
где

р,=——; р + В, < х ехр — (тх)® . (1,6,10)

(в р;)% ›

Здесь & >> 0 — сколь угодно малое заданное число. По каж-
дому из этих модулей Р задан остаток /р такой, что (1р, ) == 1,
0< 15 < Р, и число хр такое, что

Х])<х, (1:6›11)

нЕлыло оЯ
(!пх)д" а

где б, >> 1 — какая-либо константа. Рассмотрим сравнение
х;Ха* ' * Хр == 1р (той Э); х,х,:схь < Хр, (1,6,12)

тде #< 6; пусть /М,(хро, ) будет (при данном #) числом
решений (1,6,12). Имеет место лемма

Лемма 1.6.5

При & <6
1 1 ” $
Х) м(х, ) = аг Хрето) | 2(5 (5, Х)) аы
) (2) б
+ Вх Ё% ехр — (1п 1п х)*°, (1,6,13)

1
где С„— окружность: |5 — 1| < ср
1

41