пределенными“ в арифметических прогрессиях, разность кото-
рых Р весьма велика: ОЭ==0О(1п%) при любой константе ® < 1.
Для простых чисел, которые, грубо говоря, можно считать
квазипростыми при вычерпывании до М„== У/л, даже из рас-
ширенной гипотезы Римана нельзя вывести ничего подобного

1
при 9 > -5-. Сформулируем основную лемму С. Хооли [43] об
‘указанном свойстве квазипростых чисел.
1
Пусть х = л (°9?; р= [] р. Пусть натуральное число
р<х

# = Пр® (каноническое разложение). Введем функцию /(т) =
== /, (т) условиями:

7 (т) == & (т) + А (т),

тде
# (т) = { 1, если т — простое число < Х,
О иначе,
іъ(т)—{ 1, если (т, Р)==1,
О иначе.
Пусть для данного &
оН (1,5,4)
р р<х р16 р>х

Пусть у < п; Э== О(п') (0 < 0 < 1;/ ® — константа), 0 < 7 < Р,
Ю и [9 определяются с помощью (1,5,4).

Лемма 1.5.3
1 › 1
[ 01 (п)у + Вруд» если (Г?, ) =1,
» 7(т)=
т<у 1 В
т= 1(той ))
уде

если (, Э) >1,

 

й
2 1п5п’

у (н) Зв (1п п п)

п
и зависит только от л. Заметим, что в силу (1,5,3) Г (и) =
_„ (1п т л)?
МООа

Доказательство этой леммы приведено в работе С. Хооли
143], стр. 197—198.

Квазипростые числа являются весьма полезными при реше-
нии проблемы Гарди— Литллвуда (см. гл. МП). Они также
полезны для решения бинарных задач вида (0,2,3), где ’ —
простые числа, а последовательность у весьма редка, напри-
мер уравнений вида 7 == ф (х, у) + р,2”', где р, < и!—*, 27 < л* ;

98