Лемма 1.3.2 (обобщение теоремы П. Эрдеша)

Пусть л — достаточно большое число; @, г — целые числа
под условием: (@, г)==1; аг < 01л; В >0 (константа). Число

решений уравнения
‚ п == @0, + гО,, (1,3,2)

тде все простые делители ©, и @, больше В, имеет оценку:

1 1 2 2
ва ((——„_ + №) (1п п п)° (1п1п %‚) О

2
1 ——)
\ @

Это обобщение теоремы П. Эрдеша [34]. Доказательство
см. в работе А. И. Виноградова [5].

Дальнейшие леммы связаны с простейшей квадратичной
Формой х* - У. Как хорошо известно, имеем

л 1н4( (1,3,4)

м+у’= т р| 7г

Рассмотрим уравнение

п== @® - @, (1,3,5)

тде все простые делители © больше / (В >0 — константа).
Для оценки числа его решений сверху высеиваем из чисел
й — & — 1? числа, делящиеся на простые числа р< л, где
1> 0, 1< В — подходящая константа. При этом пользуемся
следующей таблицей чисел решений сравнения

Ё° -- ’7]2 ЕЕ Й. (ШОЙрз)‚ (1›316)

где &, 7 пробегают полные системы вычетов (тод р); р нечетно
и ° |п, р > 0:
При р > 5
р == 1 (той 4) р == — 1 (той 4)

О (п, р*) = р° (з +1 ——;—) @ (п, р°) ==р*—! (& нечетно)
©О (л, р®) = р°. — ($ четно)
При р < $
р == 1 (тод 4) р = — 1 (той 4)

1) 5 — нечетно , маЫ
р — нечетно е+ Юр (1

н

2) 5— нечетно (, _ рт
р — четно ЭРОИ

(
3) $ — четно @+ 1) р° (1__
(

на
ъ
/':
+
|
нн

р — нечетно

^ | - ®|- =
—
©

4) $ — четно аоыр О
р — четно ЕНО

Эаьа
^
ац
е
_|_
ъ'—-
—