‘уравнение (0,6,2) разрешимо с удовлетворительной асимптоти-
кой при

му (р 2), (0,6,3)

Если форма Ф (х, у) имеет один класс в своем роде форм,
например ®Ф (х, у) == х° +- у?, Ф (х, у) = х? — 2у?, Ф (х, у) = ху, то
решение уравнения (0,6,2) может быть проведено сравнительно
простыми средствами с помощью элементов метода И. М. Ви-
ноградова. Применение указанных выше новейших оценок сумм
Г. Клостермана позволяет получить асимптотическую формулу
для числа решений (0,6,2) уже при

< лб (1==1, 2), (0,6,4)
где е >> 0 — сколь угодно малая константа.
Довольно произвольный характер систем чисел ’ и у в

уравнении (0,2,1) позволяет свести к уравнению такого типа
более трудную задачу с простыми числами

п = фФ -- р, (0,6,5)
где р — простое число. Мы рассмотрим два способа такого све-
дёния.

Один из них непосредственно следует известным руссужде-
ниями И. М. Виноградова [7] по оценке тригонометрических
сумм с простыми числами. Пусть Ч(.) обозначает число реше-
ний уравнения, которое будет стоять в скобках вместо точки.
Пусть р пробегает все простые числа сегмента участка |)/ л,
л; й пробегает все числа, все простые делители которых не
превосходит / л, тогда

Ч(п== о- р)= У в(и) Ч (п=о -Е ао) — Ч( 9 -- 1). (0,6,6)

Здесь ® — знак функции Мебиуса; у пробегает все целые
п 3
числа @ < ю гсли й не слишком велико, скажем, и < и*, где

 

а >> 0 — подходящая константа, то мы можем получить удов-
летворительное асимптотическое выражение для Ч (л = фФ -- иФ),
рассматривая число решений уравнения Ф == лп (той и) при соот-
ветствующих ограничениях.

Остальные числа и участка (л“, л| разобьем на две системы,
соответственно значениям функции Мебиуса в (и) = —- 1 и н (и)==
== — 1. Рассмотрим одну из таких систем и соответствующую
ей сумму

 

от Ё Ч(П == @ Ц'Г). (06-7)

цо<л

Все простые делители и не превосходят |/ л. Выделим из
числа и минимальный простой множитель, который обозначим
буквой у. Тогда @@ == ЭЪ, где О’ — второй множитель, и (0,6,7)
превращается в сумму

26