Если о. н. д. (м,, %) ==1, сравнения выполняются автомати-
чески. Будем рассматривать суммарные числа решений уравне-
ний (0,4,8), (0,4,10) и (0,4,12), перебирая пары (»;, »,) такие,
что У, # % и у @ (») (#==1, 2).

Во многих частных случаях (например, для случаев, когда
Ф — $ (х, у) пробегает значения заданной квадратичной формы,
или формы более высокой степени, не более чем с двумя пе-
ременными) обнаруживается любопытное явление: величина
И, — 2И, + И, оказывается сравнительно малой, если числа /:

п, имеют совпадающие малые делители. Точнее выражаясь,
еслиИ поЛожЖиИМ

п == тах (т; п») (0,4,14)

и возьмем подходяще выбранную монотонную функию @ (л),
(например, @ (п) — (1п п)к*), то | И, — 2И, + И, | будет относи-
тельно мало сравнительно с И, в том случае, когда при любом
$ < 2 (п), 6|п, и ё|п», либо ё л, и 8+ ло (малые делители л,
и л, совпадают). Числа л, и л, такого типа, при заданной функ-
ции # (п), назовем когерентными. Если для когерентных
чисел л, и 7, имеет место указанное выше поведение диспер-
сии разности числа решений, то замечаем, что \/’ будет отно-
сительно мало. Отсюда, по соображениям типа неравенства
Чебышева, описанным выше, для многих случаев можем за-
ключить, что уравнения (0,4,1) и (0,4,2) имеют относительно
близкие выражения асимптотики чисел решений. Если этот вы-

вод годен для любых пар когерентных чисел, то рассмотрим
уравнение ®

е + УреоеИо ее () (0‚4‚15)

где л’ пробегает некоторую достаточно общирную систему /М
попарно когерентных чисёл. Уравнение (0,4,15) тогда представ-
ляет собой уже тернарную задачу, достаточно легко разре-
шаемую методом И. М. Виноградова [7], т. к. в данное урав-
нение входит произведение /’», порождающее двойную три-

гонометрическую сумму 2 еёхр 2ж1о.)”). Найдя асимптотиче-
', »
ское выражение ч. р. у. (0,4,15) и разделив его на /М, полу-
чим асимптотику числа решений (0,4,1) или (0,4,2), Подобный
метод действия выгоден тем, что избегает составления пред-
полагаемых асимптотических выражений А (л, Э) и довольно
громоздких расчетов с ними.
Разумеется, такие же рассуждения могут быть приложимы
и к уравнению Ф — ’ == п. Заметим, что для уравнения ® —
— » == 1 соответствующими уравнениями с когерентными чис-
лами будут, например, уравнения Ф — ” = р, где р — доста-
точно большое число.