Как и в $ 2, замечаем, что при заданных ;, % каждое ре-
шение (, Ф1, Ф,) системы (0,3,16) при соответствующих ей
условиях дает решение (ф,, Ф,) уравнения (0,3,20) при тех же
У,,‚ \». При этом условия (0,3,18) и (0,3,19), очевидно, соблю-
даются. Итак, число троек (, Ф,, Фз) не больше числа пар
(Ф,, Ф›), дающих решение (0,3,20) при соответствующих усло-
виях.[Докажех[и‚ что оно и не меньше этого числа. Положим,
У, = %16 У, == \; 0. Н. д. (м1, Уз) ==1; тогда из (0,3,20) выведем
для данного решения (Ф1, Ф›)

“ (п — Ф — В (»,)) == » (п — ра — В(»))).

Отсюда лп — ф, — В (»») == 0 (той уз), п — Ф — В (*,) = 0 (той м).
Таким образом, если & = 1, то условие (0,3,18) выполняется

п — $1 — В (\) —
'—'——Т_— целое

автоматически; если же 6 == 1, то число
п — Фэ — В (»1)

У
чение обоих этнх чисел есть Л, тогда тройка (, ф1, Ф,) до-
ставляет решение (0,3,16) с требуемыми условиями; при дан-
ных Ф1, Фэ Э) находится однозначно. Этим наше утверждение
доказано.

Если мы сможем произвести успешный асимптотический
расчет числа решений уравнения (0,3,17) с соответствующими
условиями (0,3,18) и (0,3,19) и установить, что величина \ и,
следовательно, дисперсия ’ малы по сравнению с ,, то мы
получим асимптотическую формулу для числа решений урав-
нения (0,3,10).

Наряду с дисперсией числа решений уравнения типа (0,2,1)
или (0,3,10) иногда удобно употреблять понятие, которое по
аналогии с теоретико-вероятностными концепциями можно на-
звать ковариацией чисел решений уравнений.

Пусть даны два уравнения типа (0,2,1):

п==Ф ВМ, › (0,3,21)
п = Ф + Р, (0,3,22)

где ’ пробегает некоторую заданную систему чисел сегмента
12,, Э, + Э,], » пробегает систему чисел сегмента [у, % - %] ;
фи % принадлежат к некоторым последовательностям нату-
ральных чисел. Иногда бывает нужно сравнить числа решений
уравнений (0,3,21) и (0,3,22), если есть основания полагать,
что они отличаются друг от друга относительно мало, причем
сама асимптотика их решений нас не интересует (см. пример
такой ситуации в $ 4 гл. Ш).
®
Пусть (, (т) = У 1; О,(т) = У 1.
ф= т

фет

и в силу (0,3,20) совпадает с числом ‚ Пусть зна-

2 Ю. В. Линник 17