у> И = У (А(п, 2'))?. (0,2,20)

Р' в (р)

В силу указанной ранее „густоты“ системы чисел {2’},
если величины А (л, Э) являются „достаточно медленно“ ме-
няющимися функциями от , неравенство (0,2,20) будет про-
тиворечить (0,2,19), чем и будет доказано требуемое. Более
того, (0,2,19) дает возможность получить асимптотическую
формулу для числа решений (0,2,1). Для этого достаточно
применить классическое рассуждение П. Л. Чебышева, с по-
мощью которого из оценки дисперсии суммы независимых слу-
чайных величин выводится закон больших чисел. Именно, мы мо-
жем, например, выделить среди чисел ', участвующих всумми-
ровании (0,2,5), такие 2’, для которых

2 ( (п — Э) — А(п, ')
е (»)

Количество таких ’ окажется относительно малым, в силу
оценки (0,2,19). Для таких значений. ’ достаточно указать
грубую оценку сверху для суммы 2 (О (п — О’»),  равномер-
`ную по ’. После этого нетрудно `‚веь(;ъ)зести, что ч. р. у. (0,2,1),

А (п, ')
ае (0,2,21)

 

 

л
т. ©. сумма ® 2_‚ О (п — Э”»), относительно мало отличает-
' в(р) »е(»)

ся от ® 4А (л, 2’), что доставляет асимптотику проблемы.
р'’е(р)

$ 3. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДОИЗМЕНЕНИЯ ДИСПЕРСИОННОГО МЕТОДА.
КОВАРИАЦИЯ ЧИСЕЛ РЕШЕНИЙ

Основное уравнение (0,2,1) разбиралось в предположении,
что числа ’и у пробегают прямоугольную область суммиро-

вания: 3
Р’Е[0,, Р, + Р,], › |’о % + ”о]' (0,3,1)

Иногда приходится рассматривать гиперболическую область
изменения ', у:
РО’у < п. (0,3,2)

Такую область во многих случаях возможно заменить суммой
прямоугольников с допустимой погрешностью в числе реше-
ний (0,2,1). При этом, однако, существенно соблюдение усло-
вия У - у) < 1!?-%, т. е. числа » не должны быть слишком
большими.

Далее, мы можем допускать и повторения в числах ',
при условии, что среднее квадратичное число этих повторений
не слишком велико. Можно допустить также повторения
в числах У.

18