далее, пары (Ф:, Ф»), очевидно, удовлетворяют уравнению
(0,2,14) (при этом считаем и повторения, если они есть).
Обратно, пусть пара чисел ($1, Фэ) удовлетворяет (0,2,14)

‚ Ка У] `г__"2 4 К НЕССЬ
и (0, 2, 15). Полагая У, — , % —› ИМеем: 0. Н. д. (5;, ме
==| ИЙ

"‘;‹'РЁ — У. 71132 сене ПЙ (); — У&)_ (0‚2,16)
э) х _ или п— Ф. == 0 (той»;), п —

1, то отсюда уже следует, что

`

Ъ

с

 

Отсюда, — (п — Ф1) у == (п
— Фа == 0 (той»)). Если ё

©

п— _
тЁ—целое число. Если же 65 1, то пользуемся условием
2
р - ауе
(0, 2, 15), и из того, что *?3)1:—„&, заключаем, что и
2 1
7 — 5 а—
т%—целое число. В силу — уравнения (0,2,14), —У—%=
1 1
@91

„— — Р, так что пара (Ф,, Ф,) дает тройку (, Ф,, Ф») реше-

ний системы (0,2,13) с соблюдением нужных условий. Отоб-
ражение (ф,, Ф») — (, Ф;, Фэ) однооднозначно, и наше утверж-
дение доказано.
Уравнение (0,2,14) и условия (0,2,15) можно, разумеет-
ся, записать в более симметричной форме:
У1 (# — Ф1) == , (п — Ф»), (0,2,17)

в— ® = 0(тоду,); "Н Е(О). (0,2,18)

Это уравнение является основным уравнением дисперсион-
ного метода в применении к задаче об уравнении (0,2,1).
Успешный асимптотический расчет количества его решений
дает асимптотическое выражение для М, и Затем для У. При

этом основное значение имеет отношение \—/'1—: если оно доста-
З

точно мало, то при довольно общих условиях мы получаем

асимптотическое решение бинарной задачи (0,2,1). Мы будем

считать далее, что система чисел {’} достаточно густа: пусть
р

количество чисел ’ не меньше (]—2)‚(—— (далее К;> 0 — кон-
п)

станты). Числа »;, напротив, могут образовывать весьма ред-

кую последовательность. Пусть нам удалось удовлетворитель-

но решить (0,2,18) (и, таким образом, найти асимптотику ),

/

после чего обнаружить, что

мало (и, стало быть, а
З
мало), точнее, что

У

5

\’ < И< И, (тл) “ (0,2,19)

БЕсли К, достаточно велико, то мы непосредственно полу-
чаём разрешимость уравнения (0,2,1). В самом деле, если оно
неразрешимо, то (О(п —- ) =@ для всех возможных значе-
ний ’ и х. Из (0,2,5) и (0,2,6) при этом следует

12