Пусть Р 6 () — какое-либо заданное целое число, не обя-
зательно из системы чисел /)’. При заданном Р рассмотрим
‘уравнение

п == $ -|- Г». (0,2,3)

Пусть имеются какие-либо эвристические соображения
{например, эвристическое применение метода Гарди — Дитллву-
да — Виноградова без оценки остаточных членов или такое
же применение решета Эратосфена как метода наименьших
квадратов, см. ниже), которые позволяют предположить, что
-ожидаемое ч. р. у. (0,2,3) имеет асимптотическое выражение

А (п, ) (0,2,4)

через элементарные функции, допускающее возможность неко-
торых простых подсчетов, изложенных далее.

Основным понятием дисперсионного метода является поня-
тие дисперсии для решений уравнения (0,2,1) при предпола-
гаемой асимптотике А (, ). Под этим понимается выражение

ее 3 (2 (7(п —- В”») — А(п, 0’)?. — (0,2,5)

р' в (Р) э (»)

Весьма важно, что (0,2,5) представляет собой двойную сумму.
Следуя основной идее метода И. М. Виноградова по оценке
двойных сумм, мы можем только увеличить выражение \/”,
если в сумме (0,2,5) начнем суммировать подряд по всем
целым значениям Э6 ()

аЕаа (2 ( (п — Р») — А (п‚р))з. (0,2,6)

р<осри+р, — \зе()

Здесь можно заметить, что мы могли бы пытаться находить
А (п, Э) по методу наименьших квадратов, т. е. выбирать его
так, чтобы минимизировать \/.

Раскрывая скобки в (0,2,6), получим

И= И, —2и, + И, (0,2,7)

где .'
М » 0(п—Р»)\, (0,2,8)

ррр + Р., \»е(»)
И, = Ъ ОА (п, ) М О(п—-)»), (0,2,9)
р<о<р,+ Р, зе(»)
Ук д А( , (0,2,10)
р<р<р,+р,

Теперь следует искать асимптотические выражения для ,,
И, И,, которые позволили бы дать нетривиальную оценку \
<верху.

10