Квадратичные формы с четырьмя и тремя переменными
(по вопросу о последних см. ряд работ А. В. Малышева,
например [18], [19]) доставляют нам весьма немногочисленные
случаи, когда возможно найти асимптотику решений бинарных
задач. Известными примерами, когда бинарная задача решает-
ся, но получаются лишь оценки снизу и сверху для числа
решений, могут служить бинарные задачи с „почти простыми“*
числами

Р, + Р,==М№. (0,1,13)

Путь к их решению был найден Вигго Бруном в 1919 г. [30].
Наилучшие известные теперь результаты: разрешимость (0,1,13)
для всех больших четных чисел, когда число простых мно-
›[ктзпте[леій в каждом из чисел Р, и Р, не превосходит трех
3], |4].

В 1948 г. А. Реньи [50] доказал разрешимость уравнения
р - Р== №, (0,1,14)

где р — простое, Р — „почти простое“ число и М достаточно
велико.

Во всех указанных случаях для каждой из перечисленных
бинарных задач нужны специальные методы их решения, даже
если не рассчитывать на получение асимптотики:*

$ 2. СХЕМА ДИСПЕРСИОННОГО МЕТОДА В ПРОСТЕЙШЕМ СЛУЧАЕ

Пусть {Ф} — какая-либо последовательность натуральных
чисел (допускаются повторения), /У пробегает без повторения
какую-либо систему натуральных чисел сегмента [,, Э, +
+ О,| == (О), у независимо от ’ пробегает какиё-либо нату-
ральные числа сегмента [№%, % + %]=()) и л> (Р, + )))
(№ -- %) — целое число.

Простейшим объектом применения дисперсионного метода
является уравнение

ТсЕсло с В"‘‚ (0›2›1)
представляющее бинарную задачу. Мы будем искать условия,
при которых можно вывести асимптотическую формулу для
числа решений уравнения или сравнения (0,2,1) (в дальней-
шем — ч. р.`у.).

Пусть /(т)= Х, 1. Тогда ч. р. у. (0,2,1) выразится фор-

Ф=т
мулой
МО с () (0,2,2)

'в () — »е(»)

* Надо отметить, что нахождение соответствующей асимптотики для
уравнения (0,1,13) значительно облегчило бы путь к решению бинарной
проблемы Гольдбаха.

9