ствующих отрезках арифметических прогрессий чисел /;, р›
(но не чисел а;, о которых мы ничего не знаем в этом отно-
шении).

Если в аддитивной задаче участвует более двух слагаемых
и она получает вид

Ь, + В, + ... - бв == №, (0,1,8)

где 6; пробегают независимо некоторые последовательности
чисел, то задача может быть приведена к тернарной, если
возможно объединить суммы чисел 6; стоящихХ в (0,1,8),
в новые слагаемые так, чтобы получилось уравнение вида
(0,1,6) (где допускаются повторения одинаковых чисел). При
этом важно, чтобы различные числа @ и различные числа
В образовывали „достаточно густую“ систему чисел, скажем,
при любом е >> 0:

1 — Е / ,1 —
Х1> с( М ', Ж1>с(е) М` (0,1,9)
а< № В<М
где с (е) — константа, зависящая от ©.
С такой точки зрения классическое уравнение

м нунна-+й=М (0,1,10)

не является тернарной задачей, ибо указанного объединения
слагаемых, с выделением третьего слагаемого { и выполнением
(0,1,9), сделать не удается.

Задачи подобного типа, где не удается выделить слагаемые
из трех независимо пробегаемых последовательностей, из ко-
торых по крайней мере две достаточно „густы“, будем назы-
вать „бинарными“. Таким является и уравнение (0,1,10).

„Точное“ решение этого уравнения было найдено К. Якоби
свыше ста лёт тому назад с помощью теории тэта-функций.
При этом были существенно использованы некоторые специ-
альные свойства квадратов чисел. Сочетая теорию преобразо-
вания тэта-функций с методом Гарди — Литллвуда — Виногра-
дова, Г. Д. Клостерман в 1926 г. нашел асимптотику для
решения уравнения
` ах* -- Бу* - сг* - а@ == М, (0,1,11)
где а, В, с, @— заданные положительные константы (см. [46]).

Более общее уравнение

9(х, у, г, Э=М, (0,1,19)
где О — положительная квадратичная кватернарная — форма,
было решено (в смысле отыскания асимптотики числа решений)
В. А. Тартаковским [24] в 1929 г., а также совершенно иным
методом М. Эйхлером [33] в 1954 г., который нашел при этом
` принципиально — неулучшаемую форму  остаточного — члена
в асимптотике*.

* Разрешимость уравнения (0,1,12) для достаточно больших М при соб-

людении соответствующих необходимых условий, по-видимому, может быть
обоснована средствами элементарной теории чисел.

8