SECTION V. — CHAPITRE V. 691

difficultés pour une puissance de nombre premier que
pour ur nombre premier. Seulement, dans le cas le plus
simple en apparence, où neest égal au cube ou à une puis-
sance plus-élevée de 2, la méthode que j'ai employée avec
succès dans tous les autres cas ne suffit plus à la solution
complète du problème, et je n’ai pas encore trouvé la
modification qu'elle exige alors. Comme la solution du
problème primitif pour le nombre premier v exige la so-
lution du second problème pour n— p —1, je ne pour-
rais donc, jusqu’à présent, donner le résultat complet
que pour les nombres premiers p qui ne sont pas de la
forme 8h + 1. Il suffira, du reste, au but de cette com-
munication préliminaire et pour éclaircir la matière,
d’examiner ici le cas du second problème, où n est un
nombre premier impair. Je ne donnerai pas seulement le
résultat relatif à ce cas, mais J'indiquerai brièvement la
méthode qui m’y a conduit, attendu qu'’elle est extrême-
ment simple et qu’elle fournit les principes essentiels
pour la solution de ce second problème dans les autres
cas, et aussi pour la solution du problème primitif.

» En conservant les notations employées par Abel
(dans le Mémoire n° XI déjà cité du tome I°‘’des OEuvres
cmnpl(‘:te.c}, et en ayant égard à la définition déjà donnée
des équations abéliennes, on peut énoncer comme il suit
le problème dont il s’agit :

» Lrouver la fonction algebrique la plus générale z9
de A, B, C, …, satisfaisant à une équation du n'ême de-
gré, et telle que cette fonction z, et les autres racines z4,
z

23 +++5 Tn_y de l'équation vérifient les relations
y —a)- 8504 1151 4 0184

où 9 (z) est une fonction rationnelle de z et de À, B,

G.

» Admettons que 7 soit un nombre premier, et, adop-