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690 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

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pourra s’exprimer par les radicaux dont on vient de par-
ler et par des radicaux d’indice u. Abel (autant que je
le sache) n’a fait cette importante remarque que pour
p=3, et, pour ce cas, il a donné la forme la plus géné-
rale de la racine d’une équation résoluble (t. II des
OFuvres complètes, p- 293). Mais il faut observer qu’il
s'est borné, dans cette recherche, aux équations dont les
coefficients sont des nombres entiers.

» Le problème primitif est maintenant ramené, en
vertu de l’équation (3), à trouver la forme la plus géné-
rale de la quantité ou, pour mieux dire, de l'expression r.
D'après ce qu'on a établi ci-dessus au sujet de 741, 72, ,
ce second problème peut s'énoncer ainsi :

» Le nombre n étant donne, trouver la forme la plus
générale d'une fonction algébrique de A, B, C, ..…,
telle que, parmi les diverses expressions qui résultent de
la combinaison des valeurs des radicaux dans cette
fonction, il y en ait n dont les fonctions symetriques et
cycliques (celles-ci étant relatives à un ordre déterminé
des n expressions) soient rationnelles en A, B, C,

» Et l’on voit que ce second problème, énoncé en gros
pour ainsi dire, revient à trouver toutes les équations
abéliennes, comme le problème primitif consistait, en
quelque sorte, à trouver toutes les équations résolubles.

» En traitant ce second problème, on se trouve ramené
à distinguer les cas où n est un nombre premier, ou une
puissance de nombre premier, ou un nombre composé
quelconque ; mais ce dernier cas se ramène aux deux
autres, car la solution du problème pour un nombre
composé n s'obtient dès qu'’on l’a résolu pour les cas où
le degré de l’équation abélienne est une des puissances
de nombre premier contenues dans n. D'ailleurs, à part
quelques complications, le problème n'offre pas plus de