SECTION V. — CHAPITRE V. 68g

» De là il suit d’abord que, tandis que les fonctions
symétriques des quantités z sont rationnelles en A, B,
C, , les fonctions cycliques des mêmes quantités prises
dansl’ordre des indices sont des fonctions rationnelles de
À, B,C, -; deris k e GG e par là que
toute équation résoluble alsébriquement d’un degre
premier u estune équation abélienne, quand on regarde
comumne connue une quantité p, qui elle-méme est racine
d'une équation abélienne du degre y —1, ou bien encore
que les u racines d’une équation résoluble sont toujours
lices entre elles de facon que l’on ait

zî=tf‘\/:1‘ [°l)! Zâ=f(zîflol)) A vs z1=f(Z…P1),

où f (z, p1) désigne une fonction rationnelle de z, de ps
et de A,B, G, (1) etoû p1 est la racine d’une équa-
tion abelienne dont les coefficients sont des fonctions
rationnelles de A, B, C, ... Cette relation entre les
racines de toute équation résoluble est d’ailleurs la vraie
source de la propriété assignée par Abel et Galois comme
le caractère spécial des équations résolubles d’un degré
premier, savoir : que chaque racine doit être une fonc-
tion rationnelledes deux autres. Parmi les conséquences
intéressantes qui découlent des résultats précédents, je
me bornerai à une seule : c’est que, la quantité 7, étant
racine d’une équation abélienne du degré E—1 et ne
contenant que desradicaux dont les indices sont diviseurs
de y — 1 ou pouvant être ramenée à n’en contenir que
de tels, la racine elle-même de toute équation résoluble

 

(#) Pai fait dans ce passage quelques corrections qui m'’ont été indi-
quées par M. Kronecker lui-même, La quantité que nous représentons ici
par p, se trouve désignée, à tort, dans les Comptes rendus de l’Académie
des Sciences de Berlin, par la lettre r,. Cette nouvelle racine , dépend
de la racine 7, d’une manière très-simple ; toutefois ces deux quantités
sont différentes entre elles,

S.— Alg, sup., IL

Es
mN