Ï
f

55 ——

ETE

ps

_s

r

 

688 COURS D'ALGEBRE SUPÉRIEURE.

où 9(x)est une fonction entière de x dont les coefficients
sont rationnels en A, B, C, ... . Nous reviendrons tout
à l’heure sur ces équations, dont la considération est du
plus hautiintérét au point de vue de l’analyse et de la théo-
rie des nombres, et aussi, comme on le voit, au point de
vue de l’Algèbre proprement dite.

» Un nouvel examen des formes (1) et(2)fournit encore
une détermination plus précise des quantités R qui figu-
rent dans la seconde. On doit avoir, en effet,

y—2 y—8

E 5 ;
(3) R,_l \7r./‘L’:c ’i:+i’x+2---U.+u—«î;

OÙ 74> T,44) ». SoNnt les u— 1 racines d’une Équation
abélienne quelconque du degré v —1, c’est-à-dire où les
fonctions symétriques et les fonctions cycliques des quan-
tités 7 (prises dans l’ordre des indices) sont rationnelles
en À, B, C, .. . où, de plus, F (7) est une fonction ration-
nelle de » et de A, B, C, .. . et où enfin Ym désigne le plus
petit reste positif de g”* suivant le module u, £ élantune
racine primitive de u. Si l’on substitue cette valeur de R,
dans l'expression (2), on obtient une forme qui, non-seu-
lement renferme toutes les expressions satisfaisant au
problème, mais, ce qui est ici le plus essentiel, n’en ren-
ferme pas d’autres. En d’autres termes, la forme ainsi
obtenue vérifie identiquement une équation du degré u
dont les coeflicients sont des fonctions rationnelles de À,
B, C, …. Les autres racines s’obtiennent par la combi-
naison des diverses valeurs des radicaux piè*es dans la
forme (2), de façon que la m!°"e racine zm est donnée par
la formule
; 1 1

(4) Im=Po+on 1‘\:1 — œ5 m I’\Ê — 8* m RÊÏ +.…..—+ œ«*'—'Pÿî"”R‘;_1,

1
.

œ désignant une racine ui°" imaginaire de l’unité, et les
o ‘ e ,

quantités R étant déterminées par la formule (3)