SECTION V. — CHAPITRE V. 687

p — 1 dont les coeflicients sont des fonctions rationnelles
de A, B, C, …. M. Malmsten a donné de ces deux formes
une démonstration étendue (t. XXXIV du Journal de
Crelle), mais qui aurait besoin, si je ne me trompe,
d’être complétée dans quelques-unes de ses parties.

» Il est bien vrai que toute fonction algébrique, satis-
faisant au problème proposé, doit pouvoir se mettre sous
ces deux formes ; mais ces formes sont encore trop géné-
rales, c’est-à-dire qu’elles renferment des fonctions algé-
briques qui ne répondent pas à la question. Je les ai donc
étudiées de plus près, et j'ai trouvé d'abord que, parmi les
fonctions renfermées dans la forme (2), celles qui satis-
font au problème proposé doivent avoir la propriété non-
seulement que les fonctions symétriques deR, k .
soient rationnelles en À, B, C, . … (ce qu'Abel a remar-
qué), mais aussi que les fonctions cycliques des quantités
,, Ra, ..., prises dans un certain ordre (*), soient éga-
lement rationnelles en À, B, C, .. . : en d’autres termes,
l'équation de degreé u— 1, dont R4, Ra, ... sont les
racines, doit être une equation abélienne. N'entendrai
toujours ici par équations abéliennes cette classe parti-
culière d’équations résolubles qu’Abel à considérées dans
le Mémoire XI du premier volume des OÆFuvres com-
plètes, et dont je supposerai les coefficients fonctions ra-
tionnelles de À, B, C, …. En désignant par x;, X», . ,
Xn des racines prises dans un ordre déterminé, ces équa-
tions peuvent être définies soit en disant que les fonctions
cycliques des racines sont rationnelles en A, B, C,..…,
soit en disant qu’on a les relations

2s t} z LR 3388
Xy — 0\"‘1)7 Tg=— 9\"2» 095 n — 0‘\‘zrz—l>a , — 0(.Z‘,L),

 

(#) On nomme fonction cyclique de n quantités x,, w,, ..., æ, l’ex-

pression (x, H 4 %, +03x,+...A-0"=14, )*, OÙ « est racine de * =1,