SECTION V. — CHAPITRE V. 08]

597. Les trois lemmes que nous venons de démontrer
permettent maintenant d’établir très-aisément le théo-
rème que nous avons en vue. Faisons pour un instant

.2?€/'.'+a =— X,|_.

luisque nous connaissons (Jemme IIT), en fonction ra-
tionnelle de x,, l’expression

(X+ V3 HUK E e NN 00

nous devons pareillement regarder comme connue toute
fonction rationnelle des racines X,, invariable par les
substitutions de la forme X,, X741- Cela nous place dans
les conditions du lemme I; ainsi nous pouvons former
une fonction © telle qu’on ait généralement

[ \
X,\._H =— % :\X;…J.

D'ailleurs, les coefficients de cette fonction s’exprime-
ront rationnellement par les quantités connues et la ra-
cine x,; de sorte qu’en mettant cette racine en évidence

nous aurons
X= ç{X,… .7‘a>, où mt — O(n

Or on peut prendre p*=56, 6 étant un entier arbitraire,
mais essentiellement différent de zéro ; il vient ainsi
Xoëra — Ÿ ("’€+’11 ‘ra.)-

Cette équation exprime précisément la relation que
nous nous proposions d’établir; elle montre très-facile-
ment comment toutes les racines s’expriment de proche
en proche, au moyen des deux racines arbitraires x,,
Xa+e; et met immédiatement en évidence dans quel ordre

elles naissent ainsi les unes des autres.

DJS. Il est aisé de démontrer que, réciproquement, la