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676 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

hypothèse la substitution T déplace toutes les racines :
elle n’a donc pas de cycles du premier ordre, et elle est
irrégulière, puisque le nombre » des lettres est premier.
Soit à l’ordre du cycle le moins élevé; la substitu-
tion T* laissera deux lettres au moins immobiles : donc
elle ne peut appartenir à G; par conséquent la substi-
tution T ne peut elle-même faire partie de G.

Ainsi le système G renferme une substitution cireu-
laire T de l’ordre n, et les puissances de T sont les
seules substitutions de G qui déplacent tous les indices.
Alors, si l’on désigne par
(T) SS A

les substitutions de F, on obtiendra le système G en

multipliant les substitutions (1), soit à droite, soit à

gauche, par le système conjugué

(2) TPE

formé des puissances de T. Deux des produits ainsi

obtenus sont en effet distincts et ils font partie de G.
Cela étant, on peut distribuer les indices o, 1,2, ...

des lettres x de manière que la substitution T soit

e

T— <F(Z)\)

/

DÔSigHODS alors par

une substitution quelconque de G ; là substitution UTU!
semblable à T fait partie de G, elle est circulaire, et elle
coïncide, d’après ce qui précède, avec l’une des puis-
sances de T ; ainsi l’on a

PIU =— ou UE U,
a étant un exposant convenable. Cette égalité revient

F(z+1)=F(z)+ai