SECTION V. — CHAPITRE V. 673

591. La condition de résolubilité que nous venons de
Lrouver peut encore être formulée d’une autre manière :
tel est l’objet des propositions suivantes :

Tréorème IV. — Si une équation irréductible de de-
gré premier est résoluble par radicaux, les racines
sont toutes exprimables en fonction rationnelle de deux
quelconques d’entre elles. .

En effet, d’après le théorème I, le système conjugué
qui est actuellement propre à l’équation ne renferme que

> - Or une telle sub-

az—+ b

des substitutions de la forme <
stitution, qui ne se réduit pas à l’unité, déplace les n in-
dices si a=—1, et elle déplace n—1 indices si a est
différent de 1. Il résulte de là que, si l’on adjoint à l’équa-
tion deux racines

Xas Tê»

le systèmc propre à celte ('squ£1ti0n ne pourra plus con-
tenir que la seule substitution égale à l’unité; car, d’après
le théorème du n° 583, les substitutions de ce système ne
peuvent déplacer les indices œ et 8. Donc, les racines u
et x étant regardées comme connues, toutes les autres
racines sont en même temps rationnellement connues.

592. Tuéorème V. — lMeciproquement, si toutes les
racines d'une équation irréductible de degré premier
sont exprimables rationnellement en fonction de deux
quelconques d’entre elles, l'équation est résoluble par
radicaux. '

En effet, soient x,, x deux racines quelconques de
l’équation proposée
(t) J(æ)=0.

Soient G le système conjugué actuellement propre à
l’équation, P ce qu’il devient après l’adjonction de x, e*

S. — Alg. sup., 1l 4

ce