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672 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

n—1 équations du premier degré qui détermineront
les n racines x, puisque la somme de ces racines est
connue.

Ainsi l’équation proposée est résoluble algébrique-
ment dans notre hypothèse.

590. Au moyen des théorèmes qui précèdent, Galois a
pu énoncer, comme 1l suit, la condition de résolubilité
des équations irréductibles de degré premier.

Tréonème INT. — Pour qu'une équation irréductible
de (lcgl'@' premier soit résoluble par radicaux, il faut et
il suffit que la késolvante de Lagrange ait une racine
rationnelle.

En effet, cette résolvante de degré 1, 2, 3,..., (n— 2
a pour racines les diverses valeurs que prend, par les
substitutions des racines x, une fonction symétrique des
quantités (5) du n° 589, par exemple la fonction

(X — X,)(X—X,)..:(X — K,—}),

où X représente une indéterminée. Or il résulte des
théorèmes Î et IÏ que, si la proposée est résoluble, cette
quantité est connue quel que soit X ; donc la résolvante
dont elle dépend doit avoir une racine rationnelle.
Réciproquement, si la résolvante a une racine ration-
nelle, la proposée est résoluble; car, dans ce cas, la fonc-
tion que nous venons de considérer est connue, quel que
soit X : c'est la racine rationnelle de la résolvante; or
cette fonction n’est invartable que par les seules substitu-

/azs+ b

tions de la forme ( > : donc le système propre à l’é-

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quation ne renferme que de telles substitutions ( n° 583),
et par conséquenl (n° 589) l’équation proposée est ré-

soluble.