SECTION V. — CHAPITRE V. 669

dernier système, il renferme néanmoins les substitutions
de celui-ci; soit S; l’une d’elles, on aura

6
S,‘:<z+ >,
Z;

6 étant l’un des nombres 1, 2, 3, …, (n — 1). Mainte-
nant, si l'on désigne par T l’une quelconque des substi-
tutions de G, on aura, quel que soit /, par le théorème
du n° 581,

TS/Ty=5S,, ou TS;=S,T,

S; étant une substitution de F : cette égalité exprime que
5;est une substitution semblable à S;; en conséquence,
cette substitution est circulaire. Or, d’après notre hypo-
thèse, le système T ne renferme que des substitutions
linéaires et entières ; il s’ensuit que ce système ne peùt
avoir deux substitutions circulaires S; et S;d’ordre n qui
ne seraient pas puissances l’une de l’autre, car autrement
il contiendrait les n? produits de la forme S£S; qui
seraient tous distincts, et cela est impossible, puisque le
nombre total des substitutions linéaires est seulement
n (n—1). Ainsi S; est une puissance de S;, et l’on a

s= <z > (f) ;

Posons

on aura
A 6 \
Ts,v=<r(z+ )>, S_:T=<F(Z)+a)a

z
et, par conséquent,
F(3+6)=F(z)+a;

si l’on remplace z successivement par =+6, = + 26,

s..