SECTION V. — CHAPITRE V. 667

ne peut avoir lieu que si les polynômes ç sont du premier
degré, et la formule ( 4) montre que 7n est divisible par n ;
d’ailleurs m est premier: donc omam=n.

Coroiramre. — Une équation irréductible de degré
premier ne peut devenir réductible, à moins que le sys-
tème conjugué qui lui est propre ne se réduise à la seule
substitution égale à l’unité.

En effet, d’après le lemme précédent, si l’équation pro-
posée se réduit, son premier membre se décompose en
facteurs linéaires, et, par suite, elle se trouve résolue.

988. Il nous reste à faire connaître les théorèmes par
lesquels Galois a exprimé la condition de résolubilité des
équations de degré premier.

Tuéorèwe I. — Siune équation irréductible f(x)= 0,
d'un degré premier n, est résoluble par radicaux, ses
n racines pourront être représentées par xz [l'indice z,
pris suivant le module nr, devant être réduit à l’un des
nombres o, 1, 2, .…, (R— 1)], de telle manière que le
système conjugué actuellement propre à l'équation ne
renferme que des substitutions linéairès et entières,
azs+ l))

,

c’est-à-dire des substitutions de la forme <
z

_aet b étant des constantes.

En effet, l’adjonction successive de quantités radicales
réduira, par hypothèse, à l’unité le système conjugué
propre à l’équation, et, d’après le lemme précédent, cette
équation restera irréductible jusqu’à la dernière adjone-
tion. Celle-ci, qui est celle d’un radical d’indice , opère
non-seulement la réduction, mais encore la résolution de
° 587 ), et, d’après le théorème du n° 580,
elle divise par æ l’ordre du système conjugué propre à

l’équation (n

l’équation.