4
Ï
|
;
î.

q
U

N

A
“

5

f

€ —

 

666 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

primitive de l’équation (3); les racines de l’équation (2 )
seront

29 —
0RIs 2 d T P

Maintenant, si l’adjonction de 7 réduit l’équation (1),
soit o(x, 7) le diviseur irréductible de /(x) qui a le
moindre degré; le polynôme f(x) sera divisible par
chacune des fonctions

P e(earN ..3 9(x, e T"r).

Le produit de ces diviseurs est une fonction symétrique
des racines de l’équation (2), et, par suite, il est expri-
mable rationnellement par les quantités connues; d’ail-
leurs ce produit ne peut s’annuler que pour les valeurs
de x qui satisfont à l’équation (1); donc, puisque cette
équation est ifréductible, le produit dont il s’agit est né-
cessairement une puissance de / (x), et l’on a

(4) [f(x)]'l =99(.:(), r)f"(x, ar) e ç(x_ wn-—1,.)‘_
Si les deux équations
‘P(“"o “ir) = 0; 50(.L‘, ocerj — ©

ont une racine commune, elles ont toutes leurs racines
communes; car, si le contraire avait lieu, les premiers
membres de ces équations auraient un diviseur commun
d(x, 7) qui serait rationnel relativement aux quantités
connues, et ÿ(x, 7') ne serait pas le diviseur de / (x) du
degré minimum.

Alors, si l’on extrait la racine g'*"° des deux membres
de la formule (4), on aura un résultat de la forme

(5)  f(æ)=g(w, 7) p{x, er)p (æ, 67) ... p (æ, er)»

o, ,, e désignant des racines de l’équation (3). Mais,
e degré de / (x ) étant un nombre premier, la formule (5)