SECTION V. — CHAPITRE V. 663

quelconque des substitutions de G. Et réciproquement,
d’après la proposition VII, G étant le système d’ordre
v — up actuellement propre à l’équation, si l’on peut
trouver un système l d’ordre y qui soit contenu dans G,

_et qui reste invariable quand on exécute les substitutions

de G dans les cycles de toutes ses substitutions, D devien-
dra, par l’extraction d'une racine p}*"° et par l’adjonction
de cette racine, le système propre à l’équation.

Ainsi ces propositions découvertes par Galois, et dont
nous avons donné des démonstrations complètes et rigou-
reuses, indiquent la condition nécessaire et suffisante
pour l’abaissement de l’ordre du système conjugué propre
à l’équation.

Cet ordre ayant été abaissé une première fois par l’ad-
jonction d'un radical, on peut raisonner sur le nouveau
système conjugué comme sur le précédent, et il faudra
qu’il se réduise aussi de la même manière, et ainsi de
suite, jusqu'à ce qu’on arrive à un système qui ne con-
tienne plus que la seule substitution égale à l’unité.

586. Il est aisé d’observer cette marche, comme l’a re-
marqué Galois, dans la résolution connue de l’équation
générale du quatrième degré.

Soient

a, 05e d

,

les racines. Le système conjugué G propre à l’équation
est ici le système des 1. 2. 3. 4 24 substitutions des
quatre racines, et l’on obtient (n° 443), en faisant le pro-
duit des quatre systèmes,

1, (a, b)(c, d},

1, (a,c)(b,d),

1. {Dée d th des
1, (b,c),