SECTION V. — CHAPITRE V. 659

ce qui ne peut pas avoir lieu, puisque la substitution
SgS7' fait partie du système (1), tandis qu’il n’en est pas

ô p D4 / Ë ä ; 3
ainsi à l’égard de T7 à cause de 7j <a. Ensuite le produit
de deux quelconques des substitutions (4) peut être ra-
mené par la formule (2) à la forme

Tést2S 0ù 55

h étant < a, etce produit est l’une des substitutions ( 4).
Ces substitutions forment ainsi un système conjugué
d’ordre pa ; elles sont d'ailleurs contenues dans le sys-
tème G dont l’ordre est up: donc up est divisible par pa
et p para; 1l s’ensuit que œ est égal à 1 ou à p, puisque p
est un nombre premier. Six = 1, la substitution T appar-
tient à l’, ce qui est contraire à l’hypothèse. Ainsi « = p;
mais alors le système (4) contient jp substitutions, et,
par conséquent, il n’est autre que le système G. Les puis-
sances de T contenues dans T sont donc

m k—1
1, TP, T?P, £.2, TU—DP,
et l’on a
ts
on a d’ailleurs évidemment

(&—1)p=ou<t—1, Kp=4qt,

q étant un entier, ce qui cxige que 4 — 1, en sorte que
l’ordre de la substitution T est nécessairement égal à p
ou à un multiple de p.

Cela posé, soit © une fonction rationnelle des n ra-
CINnes Xo, X13 X2y +++4 Xp_ de l'équation f(x) = o, telle

; ; ; ; PE ,

que les 1.2.3...m fonctions qu’on en déduit par les
substitutions aient des valeurs numériques inégales.
Exécutons sur cette fonction les p substitutions (1) de T
et designons par
(3) ©o» ©,, ©2, »

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