624 COURS D’AIGÈBRE SUPÉRIEURE.

Maintenant l’élimination de x et de y entre les équa-
tions (3) donne

(4) A == 0;
AU étant le déterminant de U; on a ainsi ce théorème :

Tréonrème I, — Soient u une fonction entière et homo-
gène du troisième degré des variables X y, %, et_Au
le déterminant de u. Soient aussi U et AU ce que de-
vlennent u et Au quand on écrit X, Y, Z au lieu de
X, y, =. Pour que les points de contact des six tangentes
menées à la courbe u = o par le point (X, Y, Z) soient
situés sur deux droites, il faut et il suffit que l’on ait

AU —o.
Et il en résulte cette conséquence importante :

CororLAIrE. — Par un point dÏI{/Î{%J‘iU}Z d'une
courbe du troisième (/(»51'(? on peut mener à cette courbe
trois I(i/lg(f/lî(f$ [/1(Ï(Ù)P/l(Ï(U}}mwz( de celle (/11[ touche la
courbe au point d'inflexion, et les points de contact de la

courbe avec ces trois tangentes sont en ligne droite.

574. Les considérations qui précèdent nous permet-
tent d’établir le théorème suivant, que Steiner a publié
sans démonstration dans le tome XI du Journal de Ma-

Z//(û}1(‘/li(/U(äS pures et appliquées.

Tatorème II. — Une courbe du troisième degré con-
tient en gencral 27 points-en chacun (/("'(/ll(‘/.«' elle peut
avoir un contact du cinquiènm ordre avec une conique
L'équation du win gt-septième degré qui détermine ces

] 5 5
27 points est toujours résoluble (I/”(’])I'[{/l[(’lll(’Hf
/ 5

En effet, soit P un point de la courbe donnée: me-

nons PM tangente à la courbe en P, et rencontrant de

nonveau celle-ci en M. Menons enfin, par le point M,