620 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
l’équation
(2) \u +— Au —0

représentera généralement toutes les courbes du troi-
sième degré qui passent par les neuf points d'inflexion
de la proposée. Or nous avons vu qu’on peut faire passer
par ces neuf points quatre lignes du troisième degré
formées chacune de trois droites ; donc il y a quatre va-
leurs de À pour lesquelles l’équation (2) se décompose
en facteurs linéaires. En outre, d’après le corollaire III
du précédent théorème, on a identiquement

A(\u + Au) — Au + Bau,

À et B étant évidemment des fonctions entières de à du
troisième degré. Or, si l’équation Au + Au = o repré-
sente trois droites, l’équation A(Au + Au)=0o ou
Au—+ BAu =o représentera aussi les mêmes droites
(n° 560); donc, dans cette hypothèse, on a

(3) A—)\B=0o(").

Si l’on résout cette équation du quatrième degré en
À, que l’on prenne pour À l’une quelconque de ces ra-
cines et qu’ensuite on résolve l’équation (2) par rapport
à l’une des coordonnées, on trouvera nécessairement
que les trois valeurs de cette coordonnée sont des fonc-
tions linéaires de la deuxième coordonnée. La décom-
position de l’équation (2) en facteurs linéaires étant
ainsi effectuée, on aura les équations de trois droites
contenant chacune trois des neuf points d’inflexion de

 

(*) Dans un beau Mémoire publié au tome XXXIX du Journal de
Crelle, 14, Aronhold a obtenu effectivement cette équation du quatrième
degré en À sous une forme bien remarquable, Car les coefficients s’ex-
priment par deux fonctions seulement des coefficients de l’équation

de la courbe proposée,