R
SECTION V, — CHAPITRE IV. 615

conjugués coupe la courbe en un troisième point d'in -
flexion réel, et, comme il y a trois droites de cette nature,
nous avons dit qu’il était nécessaire que le nombre des
pointsréels fût 3 et que le nombre des points imaginaires
fût 6. S’il en était autrement, au lieu de trois droites
réelles, on aurait quatre droites réelles joignant le point
d’inflexion réel et contenant chacune deux points d'in-
flexion imaginaires conjugués ; or il y a une infinité de
courbes du troisième degré pour lesquelles trois points
d'inflexion sont réels; par exemple, la courbe dont

D ns * e ,
<—5 ‘—> désignent les coordonnées rectilignes, et qui a
242 y

pour équation
x3 — xz*

L 32 — 72

est rencontrée par l’axe des abscisses en trois points
d’inflexion réels, ce qui est contraire à notre hypo-
thèse.

570. Tuforème V. — Si, par un point M d’une courbe
du troisième degré D, on mène trois droites qui ren-

contrent de nouveau la courbe aux points À et B, Cet D,

E et F respectivement, les six points A, B, C, D, E, F
seront sur une conique, toutes les fois que M sera un
point d'inflexion de la courbe ; et réciproquement,
si les points A, B, C, D, E, F sont sur une conique, le
point M sera nécessairement un point d'inflexion.

En effet, menons par le point M une sécante qui ren-
contre de nouveau la courbe P en M' et M”, puis joi-
gnons M'C, M’E qui rencontrent de nouveau la courbe
en D'et F'respectivement. Les neuf points

MM,:M ;; A B, CPE, PE

sont sur la courbe l'et sur la ligne du troisième degré