/
SECTION V. — CHAPITRE IV. 609

aux points B’ et C/; joignons BB et CC’, qui rencontrent
de nouveau la courbe aux points B” et C” respectivement ;
joignons enfin A”B”. La ligne du troisième degré formée
des trois droites ABC, A'B'C' et A"B” passe par huit des
points d’intersection de la courbe F et de la ligne du troi-
sième degré formée de droites À A'A”, BB’B”, CCC" :
elle passera donc par le neuvième point d’intersection C”;
et, comme une courbe de troisième degré ne peut avoir
quatre points en ligne droite, il faut nécessairement
que les trois points A”, B”, C” soient en ligne droite.
Imaginons maintenant que les sécantes BC et B'C/ tour-
nentrespectivementautourdes points À et A’, de manière
à devenir tangentes à la courbe ; comme À et A’ sont
deux points d’inflexion, les points B et C se confondront ;
avec À à la limite : pareillement, B’et C" se confondront
avec A’; donc les droites BB'B” et CC/C/ coïncideront
avec AA/A”, et, par suite, les trois points d’intersection
de la courbe avec la sécante A"B”C/ se confondront en
un seul A”, qui est ainsi un point d’inflexion.

Remarque. — Bien que la forme de ce raisonnement
soit géométrique, 1l est évident qu’il s’applique au cas
des points imaginaires comme à celui des points réels.

567. Tuéorème III. — Le nombre des droites qui
passent chacune par trois points d'inflexion d’une
courbe du troisième degre donnée est égal à douze.
Ces douze droites forment quatre systèmes composés
chacun de trois droites, et les neuf points d'inflexion
de la courbe sont trois à trois sur les trois droites de
chaque système. :

Si l’on joint par des droites l’un des points d’inflexion
de la courbe à chacun des huit autres, il est évident que
ces huit droites se réduiront à quatre distinctes, puisque
la droite qui passe par deux points d’inflexion passe
S. — Algs. sup., I. 3g