606 COURS D 'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

564 Tréonème I. — Toute courbe du troisième degré,
qui passe par huit des neuf points d'intersection de
deux courbes du troisième degré données, passe égale-
ment par le neuvième point d’intersection de ces deux
courbes.

Soient FetT, les deux courbes du troisième degré don-
nées. Supposons qu’on se propose de faire passer une
courbe du troisième degré par les neuf points d’inter-
section des courbes F et l’, ; les neuf équations linéaires
que doivent vérifier les coefficients de l’équation de la
courbe inconnue admettront les deux solutions relatives
aux courbes l’ et l', qui satisfont au problème. I s’en-
suit que le système de ces neuf équations est indéter-
miné ; d’ailleurs huit quelconques d’entre elles sont dis-
tinctes, d’après le lemme III, et en conséquence elles
entraînent nécessairement la neuvième. On peut con-
clure de là que, si l’on assujettit une courbe du troisième
degré T» à passer par huit des points communs aux
courbes T et T,, et que, pour achever de la déterminer,
on se donne une nouvelle condition arbitraire, la courbe
P, passera nécessairement par le neuvième point d’in-
tersection des courbes F et F,.

Cororraimre I. — Si trois des neuf points d'intersec-
tion des deux courbes du troisième «'«'{)(g'l'(ï sont en z'[gi!(f
droite, les six autres points d'intersection sont situés
sur une conique.

En effet, la droite qui passe par les trois premiers
points d’intersection des courbes données l et P,, et la
conique qui passe par cinq des six autres, forment une
ligne du troisième degré qui passe par le neuvième point
d’intersection des courbes P et P; ; donc la conique passe
par ce neuvième point, car une courbe du troisième

,

degré ne peut avoir quatre points en ligne droite.