SECTION V. — CHAPITRE IV. 6o1
est îdentiquement nul. On aura dônce

d°U d’U d’U
14 . —o,

—0 2 TS
dx? ” dady % dy?

et il est évident que ces conditions sont suffisantes,
puisque l’on a
2rl‘-’U d’U d’U

—— — — 2 *
da* 24 dxdy s; dy?

 

12(/2—1)U=.æ‘

Ainsi, dans le cas qui nous occupe, les équations (3) ont
lieu identiquement en vertu de l’équation (2), et par
conséquent il en est de même de l’équation (4). Donc
toute droite qui fait partie du lieu de l’équation u= 0
appartient aussi au lieu de l’équation Au = o.

Dans le cas de n = 3, on a ce théorème :

Si l'équation u= 0 représente trois lignes droites,
ces mêmes droites constituent le lieu de l’équation
Au = o, et l'on aen conséquence Au = ku, k étant une
constante.

Il peut arriver que le déterminant Au soit identique-
ment nul; pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que
le lieu de l’équation # =0 soit un faisceau de n lignes
droites. Bien que nous n’eussions pas à faire usage de
ce théorème dû à Hesse, nous ne pouvions nous dis-
penser de le mentionner ici.

Sur les points d'inflca:ion des courbes du troiïsième
degré.

561. Nous commencerons par établir, à l’égard des
courbes du troisième degré, quelques propositions gé-
nérales sur lesquelles nous aurons à nous appuyer.

Rappelons d’abord que le système formé d’une conique
et d'une droite, ou le système de trois droites, constitue
une variété des lignes du troisième degré.