600 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

points multiples, résultera donc de l’élimination de x
et y entre
du du du
=6 —0 =
dx > d) dz

O.

Ces équations peuvent être mises sous la forme

LUN US 9 H SU3 — O,
XU9,1, ÆJ U9,9 H ZU9,3 = O,

XUs à H Y Us,9 H 2U3,3 O,
ct l’on en déduit évidemment

Au'=—©.

Au reste, la méthode dont nous avons fait usage pour
trouver les points d’inflexion montre que les points mul-
tiples, quand il en existe, satisfont à la précédente
équation; car, si la droite z=ax+ by devient tangente
à la courbe en un point multiple, l’équation qui résulte

de l’élimination de z entre
u=—o et z2—=ax+b)

aura évidemment trois racines égales.

Il est facile de voir qu’une courbe du troisième degré
ne peut avoir un point triple ou trois points doubles à
moins qu’elle ne se réduise à un système de trois droites ;
elle ne peut non plus avoir deux points doubles à moins
qu’elle ne se réduise au système formé d’une conique c€
d’une droite.

560. Le calcul que nous avons fait au n° 538 ne dif-
fère pas de celui qu’il faudrait exécuter si l’on voulait
obtenir la condition pour que la droite (2) fit partie du
lieu représenté par l’équation (1). En effet, la solution
de ce nouveau problème s’obtiendra en exprimant que
le résultat U de la substitution de ax+by à z, dans u,