SECTION V. — CHAPITRE IV. 597

558. Soit maintenant u une fonction quelconque
entière et homogène, du n'*" degré, de trois variables

; 5 2 ÿ
x, y, 3. Si l’on représente par — et-= les coordonnées
L z 3 ‘

rectangulaires ou obliques d’un point variable, l’équa-
tion ;

(1) u=o

représentera une courbe quelconque du 7'°”° degré (*).
Une droite quelconque, dont l’équation est

(2) 3=—ax+bdy,

rencontre, comme on sait, la courbe en » points ; si l’on
porte la valeur de z tirée de l’équation (2) dans la fonc-
tion u, celle-ci devient une fonction homogène U des
deux variables x et y, et les n racines de l’équation

U = o, où l’on considère — comme l’inconnue, sont les

rapports des coordonnées des points où la droite ren-
contre la courbe. Mais l’équation de la ligne droite
contient deux constantes à et b qui s’introduisent dans
l’équation U— 0; on peut établir entre ces constantes
une relation telle, que deux racines de l’équation U =0
deviennent égales : dans ce cas, la droite devient une
tangente de la courbe. Et, si l'on donne aux constantes
a et b des valeurs telles, que trois racines de l’équation
U — o deviennent égales, la droite sera tangente en un
point d’inflexion ; ce point sera déterminé, commme on

 

s1S

(*) Hesse a eu le premier l’ingénieuse idée de représenter par

SIN n18
_
G
”

; 1 ; u,
les coordonnées rectilignes d’un point dans un plan, et par —, —,
& Per ] u u

coordonnées dans l’espace ; alors toutes les équations quel’on a à consi-
dérer sont homogènes.