SECTION V. — CHAPITRE LV. 595

du neuvième degré soit toujours résoluble algébrique-
ment, et qu’il suffise, pour effectuer cette résolution, de
résoudre une seule équation du quatrième degré et trois
équations du troisième degré. Cette proposition se dé-
duit facilement, comme nous le ferons voir plus loin,
du théorème de Hesse énoncé plus haut, et d’un autre
théorème démontré pour la première fois par Maclaurin
dans son Fssai sur les lignes du troisième degre, théo-
rème qui consiste en ce que :

La droite qui joint deux points d’inflexion d’une
courbe du troisième degré rencontre la courbe en un
troisième point d’inflexion.

La démonstration que Hesse a donnée dans son se-
cond Mémoire, pour établir la résolubilité de l’équa-
tion du neuvième degré dont il s’agit, suppose égale-
ment le théorème de’ Maclaurin. Hesse fait voir qu’il
existe certaines relations entre les racines, et il démontre
généralement que toute équation du neuvième degré
dont les racines ont cette même propriété est résoluble
par radicaux. Cette analyse de Hesse est remarquable;
on en trouvera le développement à la fin de ce Chapitre.

557. Soit U une fonction quelconque entière et homo-
gène du 7°"° degré de deux variables x et y; U = o sera
une équation quclconque du degré n si l’on prend pour

; X k ; É - ; ;
inconnue —, et cette equaL10n aura tro1s racimes cgalcs
Y

si l’on peut satisfaire en même temps aux trois équa-

tions
un d’U

,

T1 1173

 

s-— 0.
dx*

dx
-Ces équatiens de condition sont respectivement des de-
grés n, n — 1, R— 2; MIS On peut à leur place prendre

trois équations du même degré n — 2. Elles peuvent ef-