590 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Démonstration nouvelle de la loi de réciprocité

de Legendre.

pep

559. La théorie exposée dans ce Chapitre fournit
encore, comme l’a montré Jacobi, une démonstration
nouvelle de la loi de réciprocité de Legendre que nous
avons établie au n° 332. Nous croyons utile de pré-
senter ici cette importante application.

Considérons l’équation

xP—1
rr = 005
# —

désignons par r l’une de ses racines, par a une racine

primitive pour le nombre premier p et posons
P=r—7re+ 70* __ },u3+ pate mt paP-s __ ]_r(7'—9
Soit ÿ un nombre premier impair différent de p Si
l’on élève le polynôme P à la puissance q, le résultat
contiendra les puissances giêmes des différents termes de
P, avec d’autres termes dont les coefficients sont tous
divisibles par q. S1 l’on désigne par (/ÿ A 7* l’ensemble
; d
de ces derniers termes et que l’on pose

—>x G _ p9a qa* _— qaPp—8___ , qar-1
Q=7r1—r18+ 7 u à TS

on aura

Ppr=—o+ (/Ÿ Ar L
ut

/

Il convient maintenant de distinguerle cas de ( u sy
_ ;

et celui de Kz> —,
])

Ÿ “ G 4 . à
1° Soit ( 1) — + 1. Cela veut dire que q est racine de
P ;

N