SECTION V. — CHAPITRE III. 587

Y(æ), dont la formation dépend essentiellement des en-
tiers u et y, et ensuite des nombres m etn, conduisent à
d’ adnurablcs théorèmes arithmétiques dont nous allons
donner quelques exemples.
J’observe d’abord que la relation
E{an)E(a") = P{ar+®) 4{a)
donnera, en changeant les signes de m etn,
F((/.-"L)F<a—”) —F [a——(m+n)].‘{l ( Œ
Multipliant membre à membre, et ayant égard à la rela-
tion
Ps
F(a)F(a“) —=a{;;p;
on trouve immédiatement
y(a)-ÿ(a_l) == p,
Un cas particulier très-simple montrera tout l’intérêt
qui s’attache à ce résultat. Soit
p=i (mod. 4),
on satisfera à l’équation
pes ts
en p1‘enant
a=syv—1=t
Alors y(æ), somme de puissances entières de i, sera de
r
la forme a +bi, a et b étant entiers ; d’ aflleurs 7=45
aura pour valeur — i, de sorte que
) = a — di;
donc tout nombre premier = 1 (mod. 4) est de la forme

(rz+bi)(a-—(;i}=fi+lfl.

Ce théorème, qui a été établi par une méthode si diffé-