SFCTION V. — CHAPITRE III. 585

le produit F(a”) F(a”) est égal à la fonction Prantsy,
multipliée par un polynôme en , dont les coefficients
sont des nombres entiers. Ainsi, en désignant par y («) ce
polynôme, on aura l’égalité

F(o:’” F(a”) =F(a"""") 1,')(0£_).

x se
F(am) =2a””1‘“ ;
F(a”) =Ea”*'“af:“",

F ( oc'”) F (a" ) — EEwni+nk Æai+ak,

et c’est la somme double du second membre qu’il s’agit

En effet, on a

donc

d’évaluer sous la forme annoncée. Pour cela nous allons
mettre en évidence, non plus les coefficients des diverses
puissances de «, comme précédemment, mais les coeffi-
cients des puissances de x. Ces puissances formant la sé-
rie o, I, 2,..., P—1, Occupons-nous d'abord du pre-
mier terme qui proviendra de toutes les valeurs de : et k,
telles qu'on ait
@ at= (mod. p),

c’est-à-dire

Sous cette condition, la somme

v p—1 m(p—1) <N
2ami+n/c= 2æm<l{+—2-—)+nk —a s_ 2a(m+n)k

s’évanouit, car n’ayant pas m+—n=0 (mod. p), l'expres-
sion (m—+n) k produit la série des entiers inférieurs à p,
comme on le sait.

Maintenant, pour mettre en évidence le coefficient